Большая советская энциклопедия - сигма-функции

Сигма-функции, целые трансцендентные функции, введенные К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырех С.-ф. является функция где w = 2mw1 + 2nw2, w1 и w2 — два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m = n = 0. Функция s(z) имеет простые нули при z = w, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решетку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2w1, 2w2, 2 (w1 + w2) параллельными переносами вдоль его сторон. При помощи функции s(z) могут быть определены дзета-функция x(z) и эллиптическая функция A(z) Вейерштрасса: , . Обозначим w3 = - w1 - w2, x(wk) = hk, k =1, 2, 3. Формулы , k = 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции s(z). Равенства , k = 1, 2, 3, определяют остальные три С.-ф. Имеем s(0) = 0, sk (0) = 1, k = 1, 2, 3. Функция s(z) является нечетной, а три остальные С.-ф. — четные. Любая эллиптическая функция f (z) с периодами 2w1 и 2w2 может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле , где С — постоянная, a1,..., cr и b1,..., br — соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию a1 +... + ar = b1 +... + br. С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями. Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.